(8x³ − x² + 6x + 7) ÷ (2x − 1) の第 1 手はどれか。選択肢：8x³ を 2x で割る／2x を 8x³ で割る／6x を 2x で割る／2x を 6x で割る。

Step-by-step solution

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   筆算を動かしている規則を思い出す。 どの段階でも、割られる式の残りの最高次の項を、割る式の最高次の項で割る。これによって各回で次数が確実に下がるので、手続きは必ず終わる。

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   2 つの最高次の項を見つける。 $8x^3-x^2+6x+7$ の最高次の項は $8x^3$ である（次数が最も高い）。$2x-1$ の最高次の項は $2x$ である。したがって第 1 手は $8x^3$ を $2x$ で割ることになる。

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   その割り算を実行する。 $\frac{8x^3}{2x}=4x^2$ であり、これが商の最初の項になる。掛け戻すと $4x^2(2x-1)=8x^3-4x^2$ となり、引くと $3x^2+6x+7$ が残る。

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   他の選択肢が成り立たない理由を見る。 $2x$ を $8x^3$ で割るのは、割られる式と割る式を逆にすることであり、負のべきが出てしまう。$8x^3$ の代わりに $6x$ を使うのは最高次でない項を選ぶことであり、余りの次数が下がらない。

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   割り算を最後までやって、この立て方で通ることを確かめる。 続けると商は $4x^2+\frac32 x+\frac{15}{4}$、余りは $\frac{43}{4}$ になる。係数が分数でも構わないが、この手続きが閉じるのは、各段階で最高次の項を使ったからにほかならない。

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   x = 1 での数値検算。 割られる式は $=8-1+6+7=20$、割る式は $=1$ なので、商と余りの和は $20$ にならねばならない。実際 $4+\frac32+\frac{15}{4}+\frac{43}{4}=20$ でちょうど一致する。