(x⁴ + 5x³ − 3x − 15) を (x³ − 3) で割った商は多項式になる。その商を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   割る前に次数を比べる。 割られる式は $4$ 次、割る式は $3$ 次なので、商の次数は $4-3=1$ でなければならない。$7$ 次の答え（割るのではなく掛けてしまった場合に出る）はこの時点で除外できる。

2. 2

   最高次の項どうしを割る。 $\frac{x^4}{x^3}=x$ なので、商の第 1 項は $x$ である。掛け戻すと $x(x^3-3)=x^4-3x$ となる。

3. 3

   引いて次の項を下ろす。 $(x^4+5x^3+0x^2-3x-15)-(x^4-3x)=5x^3+0x^2+0x-15$ となる。$-3x$ の項どうしがちょうど消えることが、割り切れる予兆である。

4. 4

   もう一度割る。 $\frac{5x^3}{x^3}=5$ であり、$5(x^3-3)=5x^3-15$ となる。引くと $0$ が残るので、余りは 0、商は $x+5$ である。

5. 5

   組分けによる因数分解で確認する。 $x^4+5x^3-3x-15=x^3(x+5)-3(x+5)=(x+5)(x^3-3)$ となる。共通因数 $x^3-3$ を約分すれば商 $x+5$ が直接得られ、筆算の結果と一致する。

6. 6

   x = 2 での数値検算。 割られる式は $16+40-6-15=35$、割る式は $8-3=5$ である。$35\div 5=7$ であり、商 $x+5$ の $x=2$ での値も $7$ である。