連立方程式 2x + 3y = 14、3x + 2y = 15 について、連立方程式を解かずに x + y を求めよ。

Step-by-step solution

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   係数の対称性に目を向ける。 係数の組は $(2,3)$ と $(3,2)$ であり、同じ 2 つの数が役割を入れ替えている。連立方程式にこの対称性があるときは、式を足すと $x$ と $y$ の係数が等しくなり、それがまさに求めたい組み合わせ $x+y$ になる。

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   2 つの式を足す。

   $(2x+3y)+(3x+2y)=14+15$

   $5x+5y=29$

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   共通の 5 をくくり出す。

   $5(x+y)=29\quad\Longrightarrow\quad x+y=\frac{29}{5}$

   $\boxed{x+y=\dfrac{29}{5}=5.8}$

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   対になる近道も押さえる。 代わりに式を引くと $x-y=1$ が出るので、対称な 2 つの組み合わせがただで手に入る。両方を合わせれば連立方程式そのものも解ける：$x=\tfrac12\left(\tfrac{29}{5}+1\right)=\tfrac{17}{5}$、$y=\tfrac{12}{5}$ である。

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   検算する。 $x=\tfrac{17}{5}$、$y=\tfrac{12}{5}$ とすると $2\left(\tfrac{17}{5}\right)+3\left(\tfrac{12}{5}\right)=\tfrac{34+36}{5}=\tfrac{70}{5}=14$ ✓、$3\left(\tfrac{17}{5}\right)+2\left(\tfrac{12}{5}\right)=\tfrac{51+24}{5}=\tfrac{75}{5}=15$ ✓ となり、確かに $x+y=\tfrac{29}{5}$ である。