2x^(2a − b − 1) − 3y^(3a + 2b − 16) = 10 が 2 元 1 次方程式であるとき、a と b を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   「2 元 1 次」を指数についての条件に言い換える。 定義により、この種の方程式では $x$ と $y$ がどちらも1 次で現れ、その係数は 0 でない。係数 $2$ と $-3$ はすでに 0 でないので、必要な条件は次だけである。

   $2a-b-1=1\qquad\text{かつ}\qquad 3a+2b-16=1$

2. 2

   2 つの条件を連立方程式の形に整える。

   $\begin{cases}2a-b=2\\3a+2b=17\end{cases}$

3. 3

   代入法で解く。 1 つ目の式から $b=2a-2$ である。これを 2 つ目に代入すると：

   $3a+2(2a-2)=17\quad\Longrightarrow\quad 3a+4a-4=17\quad\Longrightarrow\quad 7a=21\quad\Longrightarrow\quad a=3$

4. 4

   b を求めるために代入し直す。

   $b=2(3)-2=4$

   $\boxed{a=3,\ b=4}$

5. 5

   2 つの指数が本当に 1 になるか確かめる。 $2a-b-1=6-4-1=1$ ✓、$3a+2b-16=9+8-16=1$ ✓ なので、方程式は $2x-3y=10$ となり、見た目にも 1 次である。片方だけでなく両方の指数を確かめることが大切である。片方の条件しか満たさない組では、2 乗や 3 乗が残ってしまうからである。