不等式 (x² − 16)/(1 + 4x − 5x²) ≥ 0 の整数解は何個あるか。

Step-by-step solution

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   分子と分母を因数分解する。 分子は 2 乗の差である：$x^2-16=(x-4)(x+4)$。分母はまず符号をくくり出す：$1+4x-5x^2=-(5x^2-4x-1)=-(5x+1)(x-1)$。

2. 2

   先頭のマイナスをくくり出した形に書き直す。 不等式は $\frac{(x-4)(x+4)}{-(5x+1)(x-1)}\ge 0$ となり、すなわち $\frac{(x-4)(x+4)}{(5x+1)(x-1)}\le 0$ である。ここで向きを反転させるところが、最も間違えられやすい一手である。

3. 3

   臨界値と除外点を書き出す。 分子は $x=\pm4$ で消える（不等号が広義なのでこれらは許される）。分母は $x=-\frac15$ と $x=1$ で消える（これらは除外しなければならない）。小さい順に並べた区切り点は $-4,\ -\frac15,\ 1,\ 4$ である。

4. 4

   符号表を作る。 各区間で 1 点ずつ調べると、$x=-5$ では商は正、$(-4,-\frac15)$ では負、$(-\frac15,1)$ では正、$(1,4)$ では負、$x>4$ では正である。したがって不等式 $\le 0$ が成り立つのは $[-4,-\frac15)\cup(1,4]$ である。

5. 5

   その区間に入る整数を拾う。 $[-4,-\frac15)$ からは $-4,-3,-2,-1$。$(1,4]$ からは $2,3,4$。$x=1$ と $x=-\frac15$ は除外され、$x=0$ は正の領域にあるので、どちらも数えない。

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   数え上げて抜き取り検算する。 合わせて $4+3=7$ 個の整数である。もとの式で $x=-1$ を確かめると $\frac{1-16}{1-4-5}=\frac{-15}{-8}=1.875\ge 0$、$x=2$ では $\frac{4-16}{1+8-20}=\frac{-12}{-11}\approx 1.09\ge 0$、$x=5$ では $\frac{9}{-104}<0$ となり、正しく除外されている。