(18m²n − 2mn² + 15mn) − P = 6m²n − 5mn² − 12mn のとき、P を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $P$ が引かれるほうであることに注意して式を変形する。 $A-P=B$ からは $P=A-B$ が従うのであって、$B-A$ ではない：

   $P=\left(18m^2n-2mn^2+15mn\right)-\left(6m^2n-5mn^2-12mn\right)$

   この向きを取り違えると、正解の符号を反転した式が出てしまう。この種の問題で圧倒的に多い誤りである。

2. 2

   マイナスを 2 つ目の多項式全体に配る。 3 つの符号がすべて反転する：

   $-\left(6m^2n-5mn^2-12mn\right)=-6m^2n+5mn^2+12mn$

3. 3

   種類ごとに同類項をまとめる。 異なる項の種類は $m^2n$、$mn^2$、$mn$ の 3 つである：

   $m^2n:\;18-6=12,\qquad mn^2:\;-2+5=3,\qquad mn:\;15+12=27$

4. 4

   結果を書く。

   $P=12m^2n+3mn^2+27mn=3mn\left(4m+n+9\right)$

   因数分解した形は、3 つの項すべてが共有する共通因数 $3mn$ から来ている。

5. 5

   数値で検算する。 $m=1$、$n=2$ とする。1 つ目の多項式は $18(2)-2(4)+15(2)=36-8+30=58$ であり、

   $P=12(1)(2)+3(1)(4)+27(2)=24+12+54=90$

   となる（因数分解した形とも一致する：$3mn(4m+n+9)=3\cdot 2\cdot 15=90$）。すると左辺は $58-90=-32$、右辺は $6(2)-5(4)-12(2)=12-20-24=-32\;\checkmark$ である。