N − (30u²v − 15uv² + v³) = 12u²v + 2v³ − 10uv² のとき、N を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   引かれている多項式を両辺に足して $N$ を単独にする。 先に分配するのではなく、3 項式全体を 1 つのかたまりとして扱う：

   $N=\left(12u^2v+2v^3-10uv^2\right)+\left(30u^2v-15uv^2+v^3\right)$

   項を 1 つずつ移すよりこのほうが安全である。かっこの前のマイナスは、足し算にした時点ですでに処理されているからである。

2. 2

   2 つの多項式を同じ種類の項ごとに並べ替える。 それぞれを $u^2v$、$uv^2$、$v^3$ の順に書くと：

   $12u^2v-10uv^2+2v^3\qquad\text{と}\qquad 30u^2v-15uv^2+v^3$

   $u^2v$ と $uv^2$ は同類項ではないことに注意する。どちらの文字が 2 乗されているかが違っており、これらを混同するのがここでの定番の誤りである。

3. 3

   種類ごとに係数を足す。

   $u^2v:\;12+30=42,\qquad uv^2:\;-10+(-15)=-25,\qquad v^3:\;2+1=3$

4. 4

   答えを書く。

   $N=42u^2v-25uv^2+3v^3$

5. 5

   もとの方程式に代入して検算する。 $u=1$、$v=2$ とすると $N=42(2)-25(4)+3(8)=84-100+24=8$ である。引かれている 3 項式は $30(2)-15(4)+8=60-60+8=8$ なので、左辺は $8-8=0$ になる。右辺は $12(2)+2(8)-10(4)=24+16-40=0\;\checkmark$ である。$u=2$、$v=1$ での 2 回目の確認では $N=168-50+3=121$、引かれている 3 項式は $120-30+1=91$、左辺は $30$、右辺は $48+2-20=30\;\checkmark$ となる。