a を定数とみなして x² + x − (a² − a) を因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   外側の括弧を慎重に外す。 マイナス符号は括弧の中の両方の項に分配される：

   $x^2+x-\left(a^2-a\right)=x^2+x-a^2+a$

   $-a$ の符号の変化を見落として（$+a$ ではなく $-a$ と書いて）しまうのが主な落とし穴である。

2. 2

   x についてのモニックな 2 次式として扱う。 $x$ の係数は $1$、定数項は $a-a^2$ である。したがって、和 が $1$、積 が $a-a^2=a(1-a)$ になる 2 つの式が必要である。

3. 3

   その組を見抜く。 明らかな候補は $a$ と $1-a$ である：

   $a+(1-a)=1\ \checkmark,\qquad a(1-a)=a-a^2\ \checkmark$

   どちらの条件も $a$ について恒等的に成り立つ。これが、この因数分解が助変数の どの 値でも通用する理由である。

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   因数分解を書く。

   $x^2+x-\left(a^2-a\right)=(x+a)\bigl(x+(1-a)\bigr)=(x+a)(x-a+1)$

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   文字のまま展開して検算する。

   $(x+a)(x-a+1)=x^2-ax+x+ax-a^2+a=x^2+x-a^2+a\ \checkmark$

   $\pm ax$ の項がちょうど打ち消し合う。中央に $x$ だけが残るのはそのためである。

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   解と、役に立つ検算を読み取る。 式は $x=-a$ と $x=a-1$ で 0 になる。その和は $-1=-b/a$ ✓、積は $-a(a-1)=a-a^2$ ✓ で、定数項と一致する。数値では、$[-6,6]$ のランダムな $60$ 組の $(x,a)$ でもとの式と因数分解した形を比べると、全体で計算機の精度の範囲で一致する ✓。