式 (x + 7)^(1/3) − (x + 7)^(4/3) を因数分解して簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   指数の小さいほうで共通因数を決める。 どちらの項も同じ底 $x+7$ の累乗であり、$\tfrac13<\tfrac43$ なので、最大公約因数はその底を小さいほうの指数で累乗したものである。$(x+7)^{1/3}$ をくくり出せば、あとには整数の計算だけが残る。

2. 2

   各項を共通因数で割る。 $\frac{u^{m}}{u^{n}}=u^{m-n}$ を使うと、第 1 項は $(x+7)^{1/3-1/3}=1$ となり、第 2 項は $(x+7)^{4/3-1/3}=(x+7)^{1}=x+7$ となる。よって $(x+7)^{1/3}-(x+7)^{4/3}=(x+7)^{1/3}\bigl[1-(x+7)\bigr].$

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   括弧の中を整理する。 $1-(x+7)=1-x-7=-x-6=-(x+6).$

4. 4

   整えた結果を書く。 符号を前に出すと、 $(x+7)^{1/3}-(x+7)^{4/3}=-(x+6)(x+7)^{1/3}.$

5. 5

   値を 1 つ入れて確かめる。 $x=1$ のとき、もとの式は $8^{1/3}-8^{4/3}=2-16=-14$ であり、因数分解した形は $-(7)\cdot 8^{1/3}=-7\cdot 2=-14$ となるので、両者は一致する。