式 (x + 6)^(−1/5) − (x + 6)^(−6/5) を因数分解して簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの指数を数直線の上で比べる。 指数は $-\tfrac15$ と $-\tfrac65$ であり、$-\tfrac65<-\tfrac15$ なので小さいほうは $-\tfrac65$ である。規則は正の指数のときと同じで、底を最も小さい指数で累乗したもの——ここでは最も負のもの——をくくり出す。

2. 2

   各項をその共通因数で割る。 第 1 項は $(x+6)^{-1/5-(-6/5)}=(x+6)^{5/5}=x+6$ となり、第 2 項は $(x+6)^{0}=1$ となるので、 $(x+6)^{-1/5}-(x+6)^{-6/5}=(x+6)^{-6/5}\bigl[(x+6)-1\bigr].$

3. 3

   括弧の中を整理する。 $(x+6)-1=x+5 .$

4. 4

   正の指数で書き直す。 $(x+6)^{-6/5}=\dfrac{1}{(x+6)^{6/5}}$ なので、 $(x+6)^{-1/5}-(x+6)^{-6/5}=\frac{x+5}{(x+6)^{6/5}} .$

5. 5

   定義域を確かめ、値を 1 つ検算する。 分数の指数が定義され、しかも 0 にならないためには $x+6>0$、すなわち $x>-6$ が必要である。$x=-5$ のとき、もとの式は $1^{-1/5}-1^{-6/5}=0$ であり、答えのほうも $\frac{0}{1}=0$ となって、両者は一致する。