a² − 4x² + 12x − 9 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   組にする前に文字の数を数える。 項は 4 つあるが、$a$ を含むのは 1 つだけで、残りの 3 つはすべて $x$ の式である。この非対称さが手がかりである。$x$ の 3 項をまとめて、見覚えのある形になるかどうかを見る。

2. 2

   マイナスを前に出して組にする。 後ろの 3 項から $-1$ をくくり出すと、中の符号がすべて反転する：

   $a^2-4x^2+12x-9=a^2-\left(4x^2-12x+9\right)$

   ここで $+12x$ と $-9$ の符号を反転し忘れるのがよくある間違いである。

3. 3

   完全平方式を見抜く。 $4x^2-12x+9$ について、$(2x)^2=4x^2$、$3^2=9$、$2\cdot 2x\cdot 3=12x$ を確かめると中央の項と一致するので

   $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$

   となる。式はいまや $a^2-(2x-3)^2$ である。

4. 4

   平方の差を当てはめる。 $A=a$、$B=2x-3$ とすると、公式 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ から

   $a^2-(2x-3)^2=\bigl(a-(2x-3)\bigr)\bigl(a+(2x-3)\bigr)$

   が得られる。

5. 5

   内側の括弧を外す。 符号を分配すると

   $(a-2x+3)(a+2x-3)$

   となる。どちらの因数も整数の範囲ではこれ以上分解できないので、因数分解は完全である。

6. 6

   展開して検算する。 $(a-2x+3)(a+2x-3)=a^2+a(2x-3)-a(2x-3)-(2x-3)^2=a^2-(4x^2-12x+9)=a^2-4x^2+12x-9$。$\checkmark$