(m − 2)² を展開せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   項ごとに 2 乗するのではなく、差の平方の公式を使う。 公式は

   $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

   である。結果は 2 項ではなく3 項になる。$(m-2)^{2}=m^{2}-4$ と書くのが最もよくある誤りで、真ん中の項をまるごと落とし、平方の差の公式と取り違えている。

2. 2

   公式に当てはめる。 ここでは $a=m$、$b=2$ なので

   $a^{2}=m^{2},\qquad2ab=2\cdot m\cdot2=4m,\qquad b^{2}=2^{2}=4$

3. 3

   符号を正しく付けて組み立てる。 真ん中の項は 2 項式のマイナスを受け継ぎ、最後の項は平方なので、$b$ が引かれていても正になる。

   $(m-2)^{2}=m^{2}-4m+4$

4. 4

   そのまま掛けて確かめる。 平方を積として書き、分配法則を使う。

   $(m-2)(m-2)=m^{2}-2m-2m+4=m^{2}-4m+4\ \checkmark$

   同じ真ん中の項 $-2m$ が 2 つ出て $-4m$ になる。公式の係数 $2$ の出どころである。$-20$ から $19$ までのすべての整数で確認済み ✓。

5. 5

   数値で確かめる。 $m=5$ のとき、もとの式は $(5-2)^{2}=9$、展開した式は $25-20+4=9$ ✓。なお $m=5$ では $m^{2}-4=21$ となり、これは誤りである。1 秒でできるこの数値検算が、落とした真ん中の項をただちに捕まえてくれる。