(7x² + 7x − 5)(5x² − 4x + 2) を展開して簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   掛ける前に数え方を決める。 3 項式どうしなので、部分積は $3\times3=9$ 個出る。2 項式にしか使えない語呂合わせに頼らず、左の項を 1 つずつ配っていけば、9 個をすべて取りこぼさずに済む。

2. 2

   先頭の項 $7x^{2}$ を配る。

   $7x^{2}\left(5x^{2}-4x+2\right)=35x^{4}-28x^{3}+14x^{2}$

3. 3

   真ん中の項 $7x$ を配る。

   $7x\left(5x^{2}-4x+2\right)=35x^{3}-28x^{2}+14x$

4. 4

   定数 $-5$ を、符号を全項に行き渡らせながら配る。

   $-5\left(5x^{2}-4x+2\right)=-25x^{2}+20x-10$

5. 5

   同じ次数をまとめる。 9 個の項を次数ごとに集める。

   $x^{4}:\ 35x^{4}$
   $x^{3}:\ -28x^{3}+35x^{3}=7x^{3}$
   $x^{2}:\ 14x^{2}-28x^{2}-25x^{2}=-39x^{2}$
   $x^{1}:\ 14x+20x=34x$
   $x^{0}:\ -10$

6. 6

   展開を数値で確かめる。 因数の形と展開した形を $-6$ から $6$ までのすべての整数 $x$ で計算すると、$13$ 点すべてで値が一致する。4 次式を決めるのに必要な $5$ 点より多いので、係数は正しい。（$x=1$ での手早い 1 点検算：$(7+7-5)(5-4+2)=9\cdot3=27$、$35+7-39+34-10=27$。）