√(−19) × √(−19) を計算せよ。

Step-by-step solution

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   ここで根号の積の法則を使ってはいけない。 恒等式 $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$ が成り立つのは $a,b\ge0$ のときだけである。何も考えずに当てはめると $\sqrt{(-19)(-19)}=\sqrt{361}=19$ となり、符号が誤りになる。これがこの問題の典型的な落とし穴である。

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   先に虚数単位の形に直す。 負の数の主平方根は $i=\sqrt{-1}$ を通して定義される。

   $\sqrt{-19}=i\sqrt{19}$

   根号の中がすべて非負になってしまえば、ふつうの計算規則をふたたび安全に使える。

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   2 つの形を掛け合わせる。

   $\left(i\sqrt{19}\right)\left(i\sqrt{19}\right)=i^{2}\left(\sqrt{19}\right)^{2}=i^{2}\cdot 19$

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   $i^2=-1$ を使う。

   $i^{2}\cdot 19=-1\cdot 19=-19$

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   平方根の定義からも確認する。 任意の数 $z$ について、定義により $\left(\sqrt z\right)^2=z$ である——したがって $\left(\sqrt{-19}\right)^2$ は $-19$ でなければならない。これは計算結果と一致し、$+19$ が決して正しくなり得ない理由を示している ✓。$\sqrt{19}=4.3589$ として数値でも確かめると $(4.3589i)^2=-19.000$ ✓。