(x²y + 5y² − 5 − 2y³ − 2x + 6y − 5y⁴) × 5y² を展開せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   単項式が各項に何をするのかを押さえる。 $5y^{2}$ を掛けると、どの係数も $5$ 倍になり、$x$ の指数はそのまま、$y$ の指数がちょうど $2$ 上がる。この規則を頭に置けば、7 回の掛け算は 7 回の小さな書き換えになる。

2. 2

   x を含む 2 項を処理する。

   $\left(x^{2}y\right)\left(5y^{2}\right)=5x^{2}y^{3},\qquad (-2x)\left(5y^{2}\right)=-10xy^{2}.$

3. 3

   定数項を処理する。 定数は $y^{0}$ を持つので、$y^{2}$ の項になる。

   $(-5)\left(5y^{2}\right)=-25y^{2}.$

   これが最も落とされやすい項である。定数もれっきとした 1 つの項である。

4. 4

   y だけの 4 項を処理する。

   $\left(5y^{2}\right)\left(5y^{2}\right)=25y^{4},\qquad \left(-2y^{3}\right)\left(5y^{2}\right)=-10y^{5},$
   $(6y)\left(5y^{2}\right)=30y^{3},\qquad \left(-5y^{4}\right)\left(5y^{2}\right)=-25y^{6}.$

5. 5

   7 つの項を見やすい順に並べる。

   $5x^{2}y^{3}-10xy^{2}-25y^{6}-10y^{5}+25y^{4}+30y^{3}-25y^{2}.$

   最高次は $6$ で、$-5y^{4}$ の項から来ている。$5y^2$ を掛けたことで、多項式の次数が予想どおり $2$ 上がっている。

6. 6

   代入して確かめる。 $x=y=1$ ではかっこの中が $1+5-5-2-2+6-5=-2$、$5y^2=5$ なので、積は $-10$ になるはずである。答えの 7 項を $x=y=1$ で足すと $5-10-25-10+25+30-25=-10$ ✓。