多項式を単項式で割れ：(20x²y² + 16x²y − 12xy²) ÷ 4xy。割る式と商の積が被除数になることを示して、答えを確かめよ。

Step-by-step solution

1. 1

   1 つの分数を、項ごとの分数に分ける。 割り算は分子の足し算に対しては分配できる（分母に対しては決してできない）：

   $\frac{20x^{2}y^{2}}{4xy}+\frac{16x^{2}y}{4xy}-\frac{12xy^{2}}{4xy}.$

2. 2

   第 1 項を割る。 係数と各文字を別々に扱い、指数は引く：

   $\frac{20}{4}=5,\qquad \frac{x^{2}}{x}=x,\qquad \frac{y^{2}}{y}=y\ \Longrightarrow\ 5xy.$

3. 3

   第 2 項を割る。 ここでは $y$ の累乗が完全に消え、$y^{0}=1$ が残る：

   $\frac{16}{4}=4,\qquad \frac{x^{2}}{x}=x,\qquad \frac{y}{y}=1\ \Longrightarrow\ 4x.$

4. 4

   第 3 項を、符号を保ったまま割る。 今度は $x$ の累乗が消える：

   $\frac{-12}{4}=-3,\qquad \frac{x}{x}=1,\qquad \frac{y^{2}}{y}=y\ \Longrightarrow\ -3y.$

5. 5

   商を組み立てる。

   $5xy+4x-3y.$

6. 6

   求められている検算を実行する。 割る式に商を掛けると：

   $4xy\left(5xy+4x-3y\right)=20x^{2}y^{2}+16x^{2}y-12xy^{2},$

   となり、これはまさに被除数である。よって割り算は正しい（$x\neq 0$、$y\neq 0$ のもとで）。