2 乗の公式を使って (4x² − 3)² を展開せよ。

Step-by-step solution

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   公式の形を見抜く。 この式は 1 つの 2 項式を 2 乗したものなので、近道の $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ が使える。項を照らし合わせると $a = 4x^2$、$b = 3$ である。

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   最初の項を 2 乗する。 $a^2 = (4x^2)^2 = 4^2 \cdot (x^2)^2 = 16x^4$ である。係数も指数も 2 乗される。$4x^4$ と書いてしまうのがよくあるつまずきである。

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   2 つの項の積を 2 倍する。 $2ab = 2 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 24x^2$ である。2 項式がマイナスの符号を持つので、この真ん中の項は引かれる。

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   最後の項を 2 乗する。 $b^2 = 3^2 = 9$ である。2 乗すると符号が消えるので、もとの項が $-3$ でも定数は正になる。

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   3 項式に組み立てる。 3 つの部分を次数の降順に並べると $16x^4 - 24x^2 + 9$ となる。

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   1 つの値で確かめる。 $x = 1$ ではもとの式が $(4-3)^2 = 1$、展開した式が $16 - 24 + 9 = 1$ なので、両者は一致する。