方程式 (x + 1)² + (x − 1)² = (x + 1)² + (1 − x)² を解け。

Step-by-step solution

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   展開する前に、同じ形の部分を探す。 $(x+1)^2$ の項が両辺に現れているので、すぐに引いて消せる。残るのは $(x-1)^2=(1-x)^2$ かどうかという、ずっと簡単な問いである。

2. 2

   符号違いの数は平方が等しいことを使う。 $1-x=-(x-1)$ であり、平方をとれば符号は消える。$(1-x)^2=\left(-(x-1)\right)^2=(-1)^2(x-1)^2=(x-1)^2$ となる。よって残った 2 つの項はどんな $x$ に対しても等しい。

3. 3

   両方を展開して確かめる。 $(x-1)^2=x^2-2x+1$、$(1-x)^2=1-2x+x^2$ であり、項ごとに一致する。これは同じ事実を代数的に述べたものである。

4. 4

   方程式が恒等式であると結論する。 消し合ったあとの方程式は $0=0$ と読める。文字を含まないが真である式であり、これこそ恒等式の目印である。すなわち未知数のどんな値に対しても成り立つ。

5. 5

   解集合を述べる。 除外される $x$ の値はない。定義域を制限する分母も平方根もないからである。よって解集合は実数全体、$x\in\mathbb{R}$ である。

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   2 つの値で確かめる。 $x=3$ では両辺とも $16+4=20$、$x=-7$ では両辺とも $36+64=100$ になる。任意に選んだ点で値が一致するのは、孤立した解を持つ方程式ではなく恒等式であることと整合する。