f(x) = x / ∛(x² − 36) の定義域を区間で表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   3 乗根が何を制約するのかを判断する。 奇数乗根はどんな実数の入力に対しても定義される。$\sqrt[3]{-8} = -2$ はまったく正当である。よって平方根と違い、$\sqrt[3]{x^2-36}$ は $x^2 - 36$ に符号の条件をまったく課さない。これを平方根と同じように扱って $x^2 \ge 36$ を要求してしまうのが、ここでの典型的な誤りである。

2. 2

   分母が 0 になるところを求める。 本当の制約は 0 で割ることだけであり、$\sqrt[3]{A} = 0$ となるのはちょうど $A = 0$ のときである。

   $x^2 - 36 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 6$

3. 3

   この 2 点を除く。 $\mathbb{R}$ から $-6$ と $6$ を除くと

   $(-\infty,-6) \cup (-6,6) \cup (6,\infty)$

4. 4

   平方根なら失敗する値で確かめる。 $x = 0$ では根号の中が $-36$ であり、$\sqrt[3]{-36} = -3.301927$ なので $f(0) = \tfrac{0}{-3.301927} = 0$ となり定義される。この関数が平方根版だったなら、区間 $(-6,6)$ がまるごと除かれていたはずである。

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   除外点の近くでの振る舞いを調べる。 $x \to 6^{-}$ のとき $x^2 - 36 \to 0^{-}$ となり、3 乗根は下から $0$ に近づくので $f(x) \to -\infty$ となる。右から近づくと $+\infty$ に向かう。どちらも本物の垂直漸近線であり、$x = \pm6$ は埋め合わせではなく除外すべき点だと確かめられる。