f(x) = (2x + 1)/(x⁴ − 5x² + 4) の定義域を区間で表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   唯一の制約を見きわめる。 分子は多項式なのでどこでも定義される。関数が壊れるのは分母が 0 になるところだけである。よって問題は $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ を解くことに帰着する。

2. 2

   置き換えで複 2 次式を解く。 現れるのは偶数次だけなので、$u = x^2$ と置く。

   $u^2 - 5u + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (u-1)(u-4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = 1 \text{ または } u = 4$

3. 3

   x に戻す。 正の $u$ はそれぞれ 2 つの実数 $x$ を与える。

   $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1, \qquad x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm2$

   除外される点は全部で 4 つ。これは 4 次の分母が生み出しうる最大の個数である。

4. 4

   4 点を取り除いて区間を書く。 数直線上に並べると除外値は $-2, -1, 1, 2$ であり、$\mathbb{R}$ を 5 つに切り分ける。

   $(-\infty,-2) \cup (-2,-1) \cup (-1,1) \cup (1,2) \cup (2,\infty)$

5. 5

   各区間で 1 点ずつ確かめる。 $x = -3$：分母は $81 - 45 + 4 = 40 \ne 0$。$x = -1.5$：$5.0625 - 11.25 + 4 = -2.1875$。$x = 0$：$4$。$x = 1.5$：$-2.1875$。$x = 3$：$40$。どれも 0 にならないので、5 つの区間はすべて定義域に含まれる。