関数 f(x) = √(x − 4) + √(x + 15) の定義域を求めよ。答えは区間で表せ。

Step-by-step solution

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   和は各部分がすべて定義されるところでしか定義されないことを押さえる。 $f(x)$ が実数の値をとるには、同じ $x$ で両方の平方根が実数でなければならない。片方だけ大丈夫では足りない。したがって定義域は 2 つの定義域の和集合ではなく共通部分である。これらは 3 乗根ではなく平方根（偶数の指数）なので、根号の中はそれぞれ 0 以上でなければならない。分母はないので、分母にある根号の場合と違って根号の中が 0 になるのは許される。

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   1 つ目の根号の条件を書く。

   $x-4\geq 0\quad\Longrightarrow\quad x\geq 4$

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   2 つ目の根号の条件を書く。

   $x+15\geq 0\quad\Longrightarrow\quad x\geq -15$

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   2 つの条件の共通部分をとる。 両方が同時に成り立たねばならないので、より厳しいほうを残す。$x\geq 4$ ならば自動的に $x\geq -15$ も成り立つが、逆は成り立たない。たとえば $x=0$ は 2 つ目には通るが 1 つ目に落ちる。よって

   $x\geq 4$

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   区間で書き、端点を確かめる。 区間の記法では定義域は

   $[4,\infty)$

   $4$ のところが角かっこなのは正しい。$f(4)=\sqrt{0}+\sqrt{19}=\sqrt{19}$ は立派な実数だが、$f(3)$ には $\sqrt{-1}$ が要るからである。よって定義域は左端を含み、右へは限りなく続く。