関数 f(x) = 1 / √(x + 2) の定義域を求めよ。答えは区間で表せ。

Step-by-step solution

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   目につく条件だけでなく、式が課す制約をすべて書き出す。 ここでは 2 つの異なる危険が重なっており、片方しか見ないのが典型的な誤りである。平方根は根号の中が 0 以上であることを要求し、分数は分母が 0 でないことを要求する。この両方が同時に成り立たなければならない。

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   平方根の条件を書く。 $\sqrt{x+2}$ が実数であるためには

   $x+2\geq 0$

   これだけなら $x=-2$ も許してしまう。

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   分母の条件を書く。 分母は $\sqrt{x+2}$ であり、分数は分母が 0 のとき定義されないので

   $\sqrt{x+2}\neq 0\quad\Longleftrightarrow\quad x+2\neq 0$

   これがまさに $x=-2$ を除外する条件である。

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   2 つを 1 つの強い不等式にまとめる。 $x+2\geq 0$ と $x+2\neq 0$ を同時に課すと

   $x+2>0\quad\Longrightarrow\quad x>-2$

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   区間の形で答え、境界を確かめる。 集合 $x>-2$ は

   $(-2,\infty)$

   $-2$ 側が丸かっこであることが肝心である。$x=-2$ では式が $1/\sqrt{0}=1/0$ となり定義されないが、$x=-1.99$ では $1/\sqrt{0.01}=10$ となり、まったく問題のない値になる。よって定義域は $-2$ のすぐ右から始まり、無限大まで続く。