f(x) = 6/(x − 15) + 6/(x + 12) の定義域を求め、答えを区間で表せ。

Step-by-step solution

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   何がまずいのかを見きわめる。 式は 2 つの分数式の和であり、根号も対数もないので、制約は 0 で割ることだけである。分母は 1 つずつ別々に調べる必要がある。どちらか一方を 0 にする値は、関数全体を壊してしまうからである。

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   それぞれの分母を 0 とおいて解く。

   $x - 15 = 0 \ \Longrightarrow\ x = 15, \qquad x + 12 = 0 \ \Longrightarrow\ x = -12$

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   先に通分したくなるのをこらえる。 足し合わせると $\dfrac{6(x+12) + 6(x-15)}{(x-15)(x+12)} = \dfrac{12x - 18}{(x-15)(x+12)}$ となる。まとめた分母の零点は同じ 2 つなのでここでは何も変わらない。しかしもし分子の因数がそのうち 1 つを約分してしまったとしても、もとの関数はそこで定義されないままである。制約は必ずもとの形から読み取ること。

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   この 2 点を数直線から取り除く。 $\mathbb{R}$ から $-12$ と $15$ を除くと、左から順に 3 つの開区間が残る。

   $(-\infty,\, -12) \cup (-12,\, 15) \cup (15,\, \infty)$

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   各区間の値で確かめる。 $x = -20$ では $\tfrac{6}{-35} + \tfrac{6}{-8} = -0.9214$ で定義される。$x = 0$ では $\tfrac{6}{-15} + \tfrac{6}{12} = 0.1$ で定義される。$x = 20$ では $\tfrac{6}{5} + \tfrac{6}{32} = 1.3875$ で定義される。$x = 15$ と $x = -12$ では関数は垂直漸近線を持つ。