x² − 12x + 5 を 3x + 9 で割り、商と余りを求めよ。

Step-by-step solution

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   商に分数が出ることを覚悟する。 割る式の最高次の項は $3x$、割られる式の最高次の項は $x^2$ なので、商の第 1 項は $\dfrac{x^2}{3x}=\dfrac{x}{3}$ となる。先に割る式から $3$ を括り出してはいけない。それをすると「余り」の意味が変わってしまう。

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   1 回目。 掛け戻すと $\dfrac{x}{3}(3x+9)=x^2+3x$ である。引くと $(x^2-12x+5)-(x^2+3x)=-15x+5.$

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   2 回目。 $\dfrac{-15x}{3x}=-5$ である。掛け戻すと $-5(3x+9)=-15x-45$ となる。引くと $(-15x+5)-(-15x-45)=50.$

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   どこで止めるかを見きわめる。 定数 $50$ は $3x+9$ より次数が低いので、ここで終わり。商は $\dfrac{x}{3}-5$、余りは $50$ である。

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   除法の等式で検算する。 $\left(\frac{x}{3}-5\right)(3x+9)+50=x^2+3x-15x-45+50=x^2-12x+5.$