2x² + 2x + 1 を 2x + 3 で割り、商と余りを求めよ。

Step-by-step solution

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   割り算の形を整える。 $2x^2+2x+1$ にはすでに $x$ のすべての次数がそろっているので、詰め物は要らない。割る式 $2x+3$ はモニックでないので、商の係数が分数になるのはここでは当たり前である。

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   1 回目。 $\dfrac{2x^2}{2x}=x$。掛け戻すと $x(2x+3)=2x^2+3x$。引くと： $(2x^2+2x+1)-(2x^2+3x)=-x+1.$

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   2 回目。 $\dfrac{-x}{2x}=-\dfrac12$。掛け戻すと $-\tfrac12(2x+3)=-x-\tfrac32$。引くと： $(-x+1)-\left(-x-\frac32\right)=1+\frac32=\frac52.$

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   止めどきを見極める。 残った $\tfrac52$ の次数は $0$ で、$2x+3$ の次数より低いので、ここで手順は終わる。商は $x-\tfrac12$、余りは $\tfrac52$ である。

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   検証する。 $\left(x-\frac12\right)(2x+3)+\frac52=2x^2+3x-x-\frac32+\frac52=2x^2+2x+1.$ 商は前の問題と同じなのに余りは違うことに注目したい——割る式の定数を変えても、動くのは残りの部分だけである。