2x² − 1 を 2x + 1 で割り、商と余りを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   欠けている項を補う。 筆算は次数をそろえて並べるので、被除数はすべての次数が現れる形で書く： $2x^2-1=2x^2+0x-1.$ これを飛ばすことが、符号ミスの最大の原因である。

2. 2

   最高次の項どうしを割る。 $\dfrac{2x^2}{2x}=x$ なので、商の最初の項は $x$ である。掛け戻すと $x(2x+1)=2x^2+x$ となり、引くと： $(2x^2+0x-1)-(2x^2+x)=-x-1.$

3. 3

   新しい余りに対して繰り返す。 $\dfrac{-x}{2x}=-\dfrac12$ である。割る式がモニックでないので商に分数が現れるが、これは想定どおりであって誤りではない。掛け戻すと $-\tfrac12(2x+1)=-x-\tfrac12$ になる。

4. 4

   もう一度引いて止める。 $(-x-1)-\left(-x-\frac12\right)=-\frac12.$ $-\tfrac12$ の次数は $2x+1$ の次数より低いので、割り算はここで終わる。

5. 5

   割り算の等式で検算する。 $\left(x-\frac12\right)(2x+1)+\left(-\frac12\right)=2x^2+x-x-\frac12-\frac12=2x^2-1,$ となり、もとの被除数に戻る。