f³ + 64 を f + 4 で割れ。

Step-by-step solution

1. 1

   欠けているものも含め、すべての係数を書き出す。 $f^3+64$ には $f^2$ の項も $f$ の項もないので、係数の並びは $1,\,0,\,0,\,64$ である。詰め物のゼロを忘れることが、組立除法で最も多い誤りである。

2. 2

   組立除法の根を特定する。 割る式 $f+4$ は $f=-4$ でゼロになるので、隅の枠には $-4$ が入る——符号は割る式に書かれているものと反対である。

3. 3

   手順を走らせる。 $1$ を下ろす。$1\times(-4)=-4$ で $0+(-4)=-4$、$-4\times(-4)=16$ で $0+16=16$、$16\times(-4)=-64$ で $64+(-64)=0$。行は $1,\ -4,\ 16,\ 0$ となる。

4. 4

   商と余りを読み取る。 最後の $0$ が余りであり、最初の 3 つが 2 次の商を与える： $\frac{f^3+64}{f+4} = f^2-4f+16.$

5. 5

   なぜ余りがゼロになるのかを見抜く。 $64=4^3$ なので、これは 3 乗の和である。$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ に $a=f$、$b=4$ を入れると、ちょうど $(f+4)(f^2-4f+16)$ になる。因数定理により、$(-4)^3+64=0$ が余りゼロを保証していたのである。

6. 6

   掛け戻して検算する。 $(f+4)(f^2-4f+16) = f^3-4f^2+16f+4f^2-16f+64 = f^3+64$。当然そうなるべきものとして、中間の項はすべて打ち消し合う。