f(x) = √(5x + 1) について、差分商 (f(x+h) − f(x))/h を求めて簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   商を書き下す。 $f(x+h) = \sqrt{5(x+h)+1} = \sqrt{5x+5h+1}$ なので、

   $\frac{\sqrt{5x+5h+1} - \sqrt{5x+1}}{h}$

   となる。この時点ではまだ何も約分できない。$h$ が根号の中に埋まっていて、分子から直接くくり出せないからである。

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   分子の共役な式を掛ける。 これは平方根の差に対する定石の一手である：

   $\frac{\sqrt{5x+5h+1} - \sqrt{5x+1}}{h} \cdot \frac{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}$

   この形の $1$ を掛けても値は変わらないが、根号が分母の側へ移る。

3. 3

   分子に (A − B)(A + B) = A² − B² を使う。 平方根が消える：

   $\left(5x+5h+1\right) - \left(5x+1\right) = 5h$

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   h を約分する。

   $\frac{5h}{h\left(\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}\right)} = \frac{5}{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}$

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   数値で確かめてから極限をとる。 $x = 1.3$、$h = 0.07$ のとき、直接の商は $0.9024623$ であり、式からは $\tfrac{5}{\sqrt{7.85}+\sqrt{7.5}} = 0.9024623$ が得られる。$h \to 0$ とすると 2 つの根号はどちらも $\sqrt{5x+1}$ になり、$\tfrac{5}{2\sqrt{5x+1}}$ すなわち $\sqrt{5x+1}$ の導関数が現れる。