f(x) = 7/(3x − 1) について、差分商 (f(x+h) − f(x))/h を求めて簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   f(x + h) を書く。 代入されるのは分母だけである：

   $f(x+h) = \frac{7}{3(x+h)-1} = \frac{7}{3x+3h-1}$

2. 2

   繁分数の形に組み立てる。

   $\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{h}\left(\frac{7}{3x+3h-1} - \frac{7}{3x-1}\right)$

   要点は、$h$ で割る前に内側の差を 1 つにまとめることである。そうしなければ何も約分されない。

3. 3

   通分して 1 つの分数にまとめる。

   $\frac{7(3x-1) - 7(3x+3h-1)}{(3x+3h-1)(3x-1)}$

   分子は $21x - 7 - 21x - 21h + 7 = -21h$ と展開される——$-21h$ 以外のすべての項が消えることが、この操作のねらいそのものである。

4. 4

   h で割って約分する。

   $\frac{-21h}{h\,(3x+3h-1)(3x-1)} = \frac{-21}{(3x+3h-1)(3x-1)}$

5. 5

   検証してから極限をとる。 $x = 1.3$、$h = 0.07$ のとき、直接の商は $-2.3284178$ であり、式からは $\tfrac{-21}{(3.11)(2.9)} = -2.3284178$ が得られる。$h \to 0$ とすると式は $\tfrac{-21}{(3x-1)^2}$ に近づき、これは確かに $\tfrac{d}{dx}\tfrac{7}{3x-1}$ である。