f(x) = 5x² − 3x + 9 について、差分商 (f(x+h) − f(x))/h を求めて簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   関数に x + h を代入する。 2 乗の中にあるものも含め、すべての $x$ を置き換える：

   $f(x+h) = 5(x+h)^2 - 3(x+h) + 9 = 5x^2 + 10xh + 5h^2 - 3x - 3h + 9$

   $(x+h)^2$ を $x^2 + h^2$ ではなく $x^2 + 2xh + h^2$ と展開することが、$10xh$ の項を生む一手である。

2. 2

   f(x) を引く。 $h$ を含まない項はすべて消えなければならず、これが展開に組み込まれた検算になる：

   $f(x+h) - f(x) = \left(5x^2 + 10xh + 5h^2 - 3x - 3h + 9\right) - \left(5x^2 - 3x + 9\right) = 10xh + 5h^2 - 3h$

   定数の $9$ と、$x$ だけの 2 つの項が、いつもどおり消える。

3. 3

   分子から h をくくり出す。

   $10xh + 5h^2 - 3h = h\left(10x + 5h - 3\right)$

4. 4

   h を約分する。 問題に $h \ne 0$ と書かれているので、この約分は正当である：

   $\frac{h\left(10x + 5h - 3\right)}{h} = 10x + 5h - 3$

5. 5

   数値で確かめ、導関数とつなげる。 $x = 1.3$、$h = 0.07$ のとき、直接の商は $\tfrac{f(1.37) - f(1.3)}{0.07} = 10.35$ であり、式からは $10(1.3) + 5(0.07) - 3 = 10.35$ が得られる。$h \to 0$ とすると $10x - 3$ が残り、これはちょうど $f'(x)$ である。