それぞれが y についての完全 3 乗である、20 項ずつの 2 つの展開式の差を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   展開してはいけない——見抜くのである。 各ブロックは 20 個の項からなり、そのどれもが $a,b,c,d,e$ と $y$ を合わせて総次数 $3$ をもつ。この一様な次数と、そこかしこに現れる係数 $1,3,3,1$ および $6$ が、3 項式の 3 乗 $(p+q+r)^{3}$ であることの指紋である。項を突き合わせようと展開すれば何ページもかかるが、パターンを見抜くのは一目で済む。

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   2 つの 3 乗に名前を付ける。 1 つ目のブロックはちょうど

   $A^{3},\qquad A=(a-e)y-ad+be$

   であり、2 つ目は全体を通して $e$ が $c$ に置き換わったもので

   $B^{3},\qquad B=(a-c)y-ad+bc$

   である。どちらの同一視も、成分が $[-4,4]$ の範囲にある $400$ 個のランダムな整数 6 つ組で確認済みである ✓。

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   3 乗の差の公式を適用する。

   $A^{3}-B^{3}=(A-B)\left(A^{2}+AB+B^{2}\right)$

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   $A-B$ を簡単にする——ここで問題がつぶれる。 $-ad$ の項はきれいに打ち消し合う：

   $A-B=(a-e)y-(a-c)y+be-bc=(c-e)y+b(e-c)=(c-e)(y-b)$

   両方の部分から $(c-e)$ をくくり出すのが要の一手であり、これで面倒な引き算が 2 つの 1 次式の積という清潔な形に変わる ✓。

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   因数分解した答えを書く。

   $(c-e)(y-b)\left(A^{2}+AB+B^{2}\right),\qquad A=(a-e)y-ad+be,\ B=(a-c)y-ad+bc$

   40 項の完全な展開式と照合し、$400$ 個のランダムな検査点すべてで一致することを確認済みである ✓。

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   ただちに従う帰結を読み取る。 この式は $c=e$ のとき（2 つのブロックが同一になる）、または $y=b$ のときに必ずゼロになる。また $c$ と $e$ について交代的である。入れ替えると結果の符号が反転し、これは因数 $(c-e)$ が予告するとおりである。この対称性は、計算全体に対する独立した有用な検算になる。