x²/9 から (2x/3 − m)/4 の平方を引いた式を因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   どちらの項も完全平方であると見抜く。 1 つ目は $9=3^2$ なので $\dfrac{x^2}{9}=\left(\dfrac{x}{3}\right)^2$ であり、2 つ目はもともと平方の形で書かれている。よって

   $a=\frac{x}{3},\qquad b=\frac{\frac23x-m}{4}$

   とすれば、この式はちょうど $a^2-b^2$ である。先に展開しても解けるが、理由もなく分母 $9$ と $16$ の分数を作ってしまう。

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   公式を使う前に $b$ を簡単にする。 分子を分けると

   $b=\frac{\frac23x}{4}-\frac{m}{4}=\frac{x}{6}-\frac{m}{4}$

   となる。$\tfrac23x$ を $4$ で割ると $\tfrac{x}{12}$ ではなく $\tfrac{x}{6}$ である——よくある計算の取りこぼしである。

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   $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ を適用し、各因数を整理する。

   $a-b=\frac{x}{3}-\frac{x}{6}+\frac{m}{4}=\frac{x}{6}+\frac{m}{4}=\frac{2x+3m}{12}$

   $a+b=\frac{x}{3}+\frac{x}{6}-\frac{m}{4}=\frac{x}{2}-\frac{m}{4}=\frac{2x-m}{4}$

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   2 つの因数を掛け合わせる。

   $\frac{2x+3m}{12}\cdot\frac{2x-m}{4}=\frac{(2x+3m)(2x-m)}{48}$

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   数値で確かめる。 $x=3$、$m=1$ のとき、もとの式は $\tfrac99-\left(\tfrac{2-1}{4}\right)^2=1-\tfrac1{16}=0.9375$ で、因数分解した形は $\tfrac{(6+3)(6-1)}{48}=\tfrac{45}{48}=0.9375$ ✓。$x=-2$、$m=5$ のとき、もとの式 $=\tfrac49-\left(\tfrac{-4/3-5}{4}\right)^2=0.4444-2.5069=-2.0625$、因数分解した形 $=\tfrac{(-4+15)(-4-5)}{48}=\tfrac{-99}{48}=-2.0625$ ✓。