((a² − 2a + 4)/(a + 2))² − ((a² + 2a + 4)/(a − 2))² を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分子に隠れている 3 乗の公式を見抜く。 どちらの分子も、3 乗の因数分解に現れる 2 次の因数である：

   $a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4),\qquad a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$

   よって $\dfrac{a^2-2a+4}{a+2}=\dfrac{a^3+8}{(a+2)^2}$、$\dfrac{a^2+2a+4}{a-2}=\dfrac{a^3-8}{(a-2)^2}$ である。これに気づくことが、式の爆発を防いでくれる。

2. 2

   両方の平方を共通分母 $(a^2-4)^2$ の上に載せる。 $(a+2)(a-2)=a^2-4$ なので、

   $\left(\frac{a^2-2a+4}{a+2}\right)^{2}=\frac{(a^2-2a+4)^2(a-2)^2}{(a^2-4)^2},\qquad \left(\frac{a^2+2a+4}{a-2}\right)^{2}=\frac{(a^2+2a+4)^2(a+2)^2}{(a^2-4)^2}$

   となる。

3. 3

   分子どうしを引いて展開する。 どちらの積も 6 次の多項式であり、掛け算を実行して項ごとに引くと

   $(a^2-2a+4)^2(a-2)^2-(a^2+2a+4)^2(a+2)^2=-16a^5-160a^3-256a$

   が得られる。偶数次の項がすべて消える——2 つの半分が $a\mapsto -a$ のもとで互いに鏡像になっていることの、役に立つ徴候である。

4. 4

   分子を完全に因数分解する。

   $-16a^5-160a^3-256a=-16a\bigl(a^4+10a^2+16\bigr)=-16a\,(a^2+2)(a^2+8)$

   $a^2+2$ も $a^2+8$ も実数の範囲では因数分解できないので、ここまでである。また $(a^2-4)^2$ と約分できるものは何もないので、$a\ne\pm 2$ のもとでこの分数はすでに既約である。

5. 5

   $a$ の 2 つの値で数値検算する。 $a=1$ ではもとの式は $\left(\tfrac{3}{3}\right)^2-\left(\tfrac{7}{-1}\right)^2=1-49=-48$ で、閉じた式は $\dfrac{-16(1)(3)(9)}{9}=-48$ を与える。$a=3$ ではもとの式は $\left(\tfrac{7}{5}\right)^2-\left(\tfrac{19}{1}\right)^2=1.96-361=-359.04$ で、閉じた式は $\dfrac{-16(3)(11)(17)}{25}=-\dfrac{8976}{25}=-359.04$ を与える。どちらもぴったり一致する。