(2x + 1)² + 2(2x + 1) + 1 を完全平方の形に書き直せ。

Step-by-step solution

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   代数に手をつける前に形を探す。 3 つの項は「何かの 2 乗」「その同じ何かの 2 倍」「$1$」である。これはまさに完全平方の形

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2$

   である。これに気づけば、$4x^2 + 8x + 4$ に展開してからまた因数分解する手間が省ける。

2. 2

   繰り返し現れる塊に名前を付ける。

   $A = 2x + 1$

   とおくと、式は文字どおり $A^2 + 2A + 1$ になる。この形が使えるためには、真ん中の項が $2A$ でなければならない（$2$ 掛ける別のものではだめである）。ここでは $2(2x+1) = 2A$ なので大丈夫である。

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   恒等式を当てはめ、もとに戻す。

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2 = \bigl((2x+1) + 1\bigr)^2 = (2x+2)^2$

4. 4

   括弧から共通因数をくくり出す。 中の 2 つの項は因数 $2$ を共有している：

   $(2x+2)^2 = \bigl(2(x+1)\bigr)^2 = 4(x+1)^2$

   最終的な答えとしてふつう好まれるのは $4(x+1)^2$ の形である。括弧の中がこれ以上簡単にならないからである。

5. 5

   両辺を展開して検証する。 もとの式を展開すると

   $(4x^2 + 4x + 1) + (4x + 2) + 1 = 4x^2 + 8x + 4$

   となり、答えを展開すると $4(x^2 + 2x + 1) = 4x^2 + 8x + 4$ になる。一致する。$x = 3$ での抜き取り検査でも $49 + 14 + 1 = 64 = 4(4)^2$ となる。