行が (19,5,7,8)、(18,4,4,4)、(9,1,2,1)、(9,2,3,4) である 4×4 行列の行列式を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   第 3 行を使って第 1 列を攻める。 第 $3$ 行は $9$ で始まり、第 1 列の他の成分は $19$、$18$、$9$ である。第 $3$ 行の定数倍を引くと（行列式を保つ操作である）

   $R_1\leftarrow R_1-2R_3,\quad R_2\leftarrow R_2-2R_3,\quad R_4\leftarrow R_4-R_3$

   $\begin{vmatrix}1&3&3&6\\0&2&0&2\\9&1&2&1\\0&1&1&3\end{vmatrix}$

   $19-18=1$ なので第 1 列はまだ完全には掃き出されておらず、もう 1 段階必要である。

2. 2

   新しくできた先頭の 1 を使って、列の掃き出しを仕上げる。

   $R_3\leftarrow R_3-9R_1\quad\Longrightarrow\quad (0,\ 1-27,\ 2-27,\ 1-54)=(0,-26,-25,-53)$

   $\begin{vmatrix}1&3&3&6\\0&2&0&2\\0&-26&-25&-53\\0&1&1&3\end{vmatrix}$

3. 3

   第 1 列に沿って展開する。 残るのは先頭の $1$ だけで、余因子の符号は $+$ である：

   $\det=1\cdot\begin{vmatrix}2&0&2\\-26&-25&-53\\1&1&3\end{vmatrix}$

4. 4

   3×3 を簡単にしてから計算する。 第 1 行から $2$ をくくり出す：

   $2\begin{vmatrix}1&0&1\\-26&-25&-53\\1&1&3\end{vmatrix}=2\Big[1(-75+53)-0+1(-26+25)\Big]=2\big[-22-1\big]=2(-23)=-46$

   $\boxed{-46}$

5. 5

   姉妹問題と大きさを見比べる。 よく似た、行が $(18,5,7,8),(18,3,4,4),(9,1,1,1),(9,2,3,4)$ である行列の行列式は $9$ である。ここでは 4 つの成分を変えただけで値が $-46$ へ動き、符号まで反転している。行列式は交代的な多重線形関数なので、2 つの値の間になめらかな関係を期待してはならない——どちらも独立に計算するしかない。