行が (9,2,2)、(28,8,8)、(18,5,4) である 3×3 行列の行列式を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   第 2 行の共通因数に注目する。 $(28,8,8)$ の成分はどれも $4$ で割り切れる。ある行を $k$ 倍すると行列式も $k$ 倍になるので、

   $\det=4\begin{vmatrix}9&2&2\\7&2&2\\18&5&4\end{vmatrix}$

   これで計算を小さく保てる——成分が大きくなってくると効いてくる習慣である。

2. 2

   行基本変形でさらに簡単にする。 第 $1$ 行から第 $2$ 行を引く（行列式は変わらない）と

   $4\begin{vmatrix}2&0&0\\7&2&2\\18&5&4\end{vmatrix}$

   が残る。どちらの行も第 2・第 3 成分が $2,2$ で等しいからである。

3. 3

   新しい第 1 行に沿って余因子展開する。 ゼロでないのは $(1,1)$ 成分の $2$ だけで、余因子の符号は $+$ である：

   $4\cdot 2\begin{vmatrix}2&2\\5&4\end{vmatrix}=8(8-10)=8(-2)=-16$

   $\boxed{-16}$

4. 4

   もとの行列で直接余因子展開して検証する。

   $9(8\cdot 4-8\cdot 5)-2(28\cdot 4-8\cdot 18)+2(28\cdot 5-8\cdot 18)$

   $=9(32-40)-2(112-144)+2(140-144)=-72+64-8=-16$

   2 つの道筋は一致する。

5. 5

   隣り合う問題と比べる。 中央の行を $(27,7,7)$ から $(28,8,8)$ に変えるだけで、行列式は $-9$ から $-16$ へ動く。行列式は成分のわずかな変化にきわめて敏感であり、試験でこうしたほとんど同じ行列が並べて出されるのはまさにそのためである——どれも一から計算し直さなければならない。