行が (9,2,2)、(27,7,7)、(18,5,4) である 3×3 行列の行列式を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず近道がないかを探す。 最初の 2 行はどちらも第 2 成分と第 3 成分が等しい（$2,2$ と $7,7$）ので、第 $3$ 列を第 $2$ 列から引けばゼロが作れそうだと分かる。とはいえ行が 3 つしかないので、第 1 行に沿った素直な余因子展開でも十分に短い。ここではそちらを使い、いま見た構造は検算用に取っておく。

2. 2

   符号が交互になる余因子展開を書く。 第 1 行に沿った符号は $+,-,+$ である：

   $\det=9\begin{vmatrix}7&7\\5&4\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}27&7\\18&4\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}27&7\\18&5\end{vmatrix}$

3. 3

   3 つの 2×2 小行列式を計算する。

   $\begin{vmatrix}7&7\\5&4\end{vmatrix}=28-35=-7,\quad \begin{vmatrix}27&7\\18&4\end{vmatrix}=108-126=-18,\quad \begin{vmatrix}27&7\\18&5\end{vmatrix}=135-126=9$

4. 4

   まとめる。

   $\det=9(-7)-2(-18)+2(9)=-63+36+18=-9$

   $\boxed{-9}$

5. 5

   列を使った近道で検算する。 $C_2$ を $C_2-C_3$ に置き換えても行列式は変わらず、

   $\begin{vmatrix}9&0&2\\27&0&7\\18&1&4\end{vmatrix}$

   となる。新しい第 2 列に沿って展開すると $(3,2)$ 成分の $1$ だけが残り、符号は $(-1)^{3+2}=-1$ である：

   $\det=-1\begin{vmatrix}9&2\\27&7\end{vmatrix}=-(63-54)=-9$

   2 つの方法は一致する。