行が (18,5,7,8)、(18,3,4,4)、(9,1,1,1)、(9,2,3,4) である 4×4 行列の行列式を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   展開する前に簡約する。 $4\times 4$ を何も考えずに余因子展開すると、$3\times 3$ の行列式が 4 つ必要になる。ある行の定数倍を別の行に足しても行列式は変わらないので、まずゼロでない成分がひとつしかない列を作る方がはるかに安上がりである。

2. 2

   第 3 行を使って第 1 列を掃き出す。 第 $3$ 行は $9$ で始まり、第 1 列の他の成分は $18$、$18$、$9$ なので、

   $R_1\leftarrow R_1-2R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2-2R_3,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_3$

   とすると

   $\begin{vmatrix}0&3&5&6\\0&1&2&2\\9&1&1&1\\0&1&2&3\end{vmatrix}$

   が得られる。

3. 3

   第 1 列に沿って展開する。 残るのは $(3,1)$ の位置にある $9$ だけで、その余因子の符号は $(-1)^{3+1}=+1$ である：

   $\det=9\begin{vmatrix}3&5&6\\1&2&2\\1&2&3\end{vmatrix}$

   （この小行列式は、簡約後の行列から第 $1,2,4$ 行と第 $2,3,4$ 列を残したものである。）

4. 4

   3×3 の小行列式を計算する。 第 $3$ 行から第 $2$ 行を引いて $(0,0,1)$ を作り、その行に沿って展開する：

   $\begin{vmatrix}3&5&6\\1&2&2\\0&0&1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}3&5\\1&2\end{vmatrix}=3(2)-5(1)=1$

5. 5

   掛け戻す。

   $\det=9\times 1=9$

   $\boxed{9}$

6. 6

   第 3 行に沿った直接の余因子展開で検算する。 もとの行列を $(9,1,1,1)$ に沿って展開すると、適切な符号のもとで $9M_{31}-1\cdot M_{32}+1\cdot M_{33}-1\cdot M_{34}$ となり、これを実行してもやはり $9$ が返る。独立な 2 つの道筋が一致することが、行基本変形の符号を取り違えていないことの確認になる。