369^3 - 219^3 が 1350 で割り切れることを証明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   冪を計算せずに 3 乗の差の公式で因数分解する。 $a=369$、$b=219$ として $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$ を使うと

   $369^3-219^3=(369-219)\left(369^2+369\cdot 219+219^2\right)=150\left(369^2+369\cdot 219+219^2\right)$

   となる。最初の因数だけで $1350$ の大部分がすでに得られている。

2. 2

   $150$ を目標の $1350$ と比べる。

   $1350=150\cdot 9$

   なので、証明全体は「第 2 の因数が $9$ で割り切れる」ことを示すだけに帰着する。目標をこう言い換えることで、大きな計算が小さな計算に変わる。

3. 3

   第 2 の因数が 9 の倍数であることを示す。 $369$ も $219$ も $3$ で割り切れる。$369=3\cdot 123$、$219=3\cdot 73$ である。したがって $369^2+369\cdot 219+219^2$ の各項はいずれも因数 $3^2=9$ をもつ。

   $369^2+369\cdot 219+219^2=9\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)$

   つまり第 2 の因数は $9$ の整数倍であり、何も具体的に計算する必要はない。

4. 4

   結論をまとめる。

   $369^3-219^3=150\cdot 9\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)=1350\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)$

   となり、これは $1350$ の整数倍なので割り切れることが示された。

5. 5

   実際の数値で確認する。 括弧の中の和は $15129+8979+5329=29437$ なので

   $369^3-219^3=1350\cdot 29437=39\,739\,950$

   である。直接計算しても一致する。$369^3=50\,243\,409$、$219^3=10\,503\,459$ で、その差は $39\,739\,950\;\checkmark$、そして $39\,739\,950\div 1350=29\,437$ とちょうど割り切れる。