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Algebra · real student question

x = √(10 − 2√5)/4 × c であり、a² + (φx)² = c²（φ は黄金比）が成り立つとき、a を c で表せ。

Question

φ=1+52\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2} とし、

x=10−254cx=\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}c

とする。a2+(φx)2=c2a^{2}+\left(\varphi x\right)^{2}=c^{2} が成り立つとき、aa を cc で表せ。

Step-by-step solution

  1. xx の式を 2 乗する。 2 乗すれば外側の根号はただちに外れる：

    x2=10−2516c2x^{2}=\frac{10-2\sqrt5}{16}c^{2}

  2. 黄金比の定義的性質を使って φ2\varphi^{2} を求める。 φ\varphi は φ2=φ+1\varphi^{2}=\varphi+1 を満たすので、

    φ2=1+52+1=3+52\varphi^{2}=\frac{1+\sqrt5}{2}+1=\frac{3+\sqrt5}{2}

    この近道のおかげで (1+52)2\left(\tfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^{2} を手で展開せずに済む。

  3. 掛け合わせて (φx)2(\varphi x)^{2} を得る。

    (φx)2=3+52⋅10−2516c2=(3+5)(10−25)32c2(\varphi x)^{2}=\frac{3+\sqrt5}{2}\cdot\frac{10-2\sqrt5}{16}c^{2}=\frac{(3+\sqrt5)(10-2\sqrt5)}{32}c^{2}

    積を展開すると 30−65+105−2⋅5=20+4530-6\sqrt5+10\sqrt5-2\cdot5=20+4\sqrt5 なので、

    (φx)2=20+4532c2=5+58c2(\varphi x)^{2}=\frac{20+4\sqrt5}{32}c^{2}=\frac{5+\sqrt5}{8}c^{2}

  4. a2a^{2} について解く。 a2=c2−(φx)2a^{2}=c^{2}-(\varphi x)^{2} より：

    a2=c2−5+58c2=8−5−58c2=3−58c2a^{2}=c^{2}-\frac{5+\sqrt5}{8}c^{2}=\frac{8-5-\sqrt5}{8}c^{2}=\frac{3-\sqrt5}{8}c^{2}

    数値でも 10−1410^{-14} 以内で確認できる ✓。3−5≈0.7639>03-\sqrt5\approx0.7639>0 なので、実数の aa が存在する。

  5. 二重根号を外す。 平方根をとると a=3−522c=6−254ca=\dfrac{\sqrt{3-\sqrt5}}{2\sqrt2}c=\dfrac{\sqrt{6-2\sqrt5}}{4}c となる。ここで中身が完全平方になっていないかを探す：

    (5−1)2=5−25+1=6−25 ✓\left(\sqrt5-1\right)^{2}=5-2\sqrt5+1=6-2\sqrt5\ \checkmark

    なので 6−25=5−1\sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1（5>1\sqrt5>1 より正）であり、

    a=5−14ca=\frac{\sqrt5-1}{4}c

    が得られる。

  6. 値とその意味を確かめる。 数値では a≈0.309017ca\approx0.309017c で、5−14=0.30901699…\dfrac{\sqrt5-1}{4}=0.30901699\ldots と 10−1410^{-14} まで一致する ✓。この数は 12φ\tfrac{1}{2\varphi} である。φ−1=5−12\varphi^{-1}=\dfrac{\sqrt5-1}{2} が黄金比の逆数であり、正五角形の幾何にこうした長さが現れるのはそのためである。

Answer

a=5−14c≈0.309017 ca=\frac{\sqrt5-1}{4}c\approx0.309017\,c

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