母の今日の年齢は私の 3 倍である。10 年前、母は私の 5 倍の年齢だった。私は今何歳か。

Step-by-step solution

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   小さいほうの年齢を文字にとる。 小さいほうの量を $x$ にしておけば、どの式も分数ではなく整数のままで済む。次のようにおく：

   $x=\text{私の現在の年齢}\quad\Longrightarrow\quad 3x=\text{母の現在の年齢}$

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   2 人を同じだけさかのぼらせる。 ここが取り違えられやすい段階である。10 年前には各人が 10 歳若かったので、倍数のほうではなく両方の年齢から $10$ を引く：

   $x-10=\text{そのときの私の年齢},\qquad 3x-10=\text{そのときの母の年齢}$

   母の過去の年齢を $3(x-10)$ と書いてしまうと、比が $3$ のままだと暗に仮定することになり、問題文と矛盾する。

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   2 つ目の条件を方程式にする。 10 年前、母の年齢は私の $5$ 倍だった：

   $3x-10=5(x-10)$

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   展開して解く。

   $3x-10=5x-50$

   $50-10=5x-3x$

   $40=2x$

   $x=20$

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   片方だけでなく両方の条件を確かめる。 今日：私は $20$、母は $3\cdot 20=60$ で、$60=3\times 20$ $\checkmark$。10 年前：私は $10$、母は $50$ で

   $50=5\times 10\quad\checkmark$

   となる。どちらの記述も成り立つので、私は $20$ 歳、母は $60$ 歳である。