f(x) = 5x + 2、g(x) = x − 6 のとき、(f + g)(x) を求め、その定義域を述べよ。

Step-by-step solution

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   2 つの関数のあいだのプラス記号が何を意味するかを書き下す。 関数の足し算は各点ごとに定義される。つまり、どの入力 $x$ についても両方の式の値を計算し、出力どうしを足す。記号で書けば

   $(f+g)(x)=f(x)+g(x).$

   となる。ここに新しい演算はなく、やることは 2 つの式を代入するだけである。

2. 2

   両方の式を、それぞれ括弧に入れたまま代入する。 あとで引き算が現れた瞬間に括弧が効いてくるので、いまのうちから習慣にしておく：

   $(f+g)(x)=(5x+2)+(x-6).$

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   括弧を外して同類項をまとめる。 どの括弧の前もプラス記号なので、符号は何も変わらない：

   $(5x+2)+(x-6)=\underbrace{5x+x}_{\text{x の項}}+\underbrace{2-6}_{\text{定数項}}.$

4. 4

   各グループをまとめる。 $x$ の係数は $5+1=6$、定数は $2-6=-4$ となる：

   $(f+g)(x)=6x-4.$

5. 5

   定義域は答えの式からではなく、もとの各関数の定義域から求める。 和が定義されるのは、両方のもとの関数が定義されている場所ちょうどである。$f$ も $g$ も多項式で、すべての実数について定義されているので

   $\text{定義域}(f+g)=(-\infty,\infty).$

   となる。この順序は大事である。$f/g$ のような商では、簡単にした式が、除外しなければならない値を隠してしまうことがある。だから定義域はつねにもとの関数から読み取る。