f(x) = 2 − x²、g(x) = x² + 4x − 60 のとき、(f + g)(x) を求め、その定義域を決定せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   関数の和の、各点ごとの定義を当てはめる。 どの入力 $x$ についても

   $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\left(2-x^{2}\right)+\left(x^{2}+4x-60\right).$

   となる。どちらの括弧も足されているので、外すときに符号は変わらない。

2. 2

   項を次数ごとに分ける。

   $\underbrace{\left(-x^{2}+x^{2}\right)}_{\text{二次}}+\underbrace{4x}_{\text{一次}}+\underbrace{\left(2-60\right)}_{\text{定数}}.$

3. 3

   各グループをまとめ、打ち消しに注目する。 二次の項はちょうど反数どうしである：

   $-x^{2}+x^{2}=0,\qquad 2-60=-58,$

   したがって

   $(f+g)(x)=4x-58.$

   となる。二次式どうしの和はふつうは二次式になる。ここでは最高次の係数がたまたま $-1$ と $+1$ だったので、次数が下がったのである。

4. 4

   定義域は簡単にした答えからではなく、もとの関数から読み取る。 和が定義されるのは、両方の部分が定義されている場所である。$f$ も $g$ も多項式で $\mathbb{R}$ 全体で定義されているので

   $\text{定義域}(f+g)=(-\infty,\infty).$

   となる。

5. 5

   値を 1 つとって確かめる。 $x=10$ では $f(10)=2-100=-98$、$g(10)=100+40-60=80$ なので $f(10)+g(10)=-18$、そして $4(10)-58=-18$ である。2 つの式は一致する。