導関数 vs 微分

導関数 と 微分 は密接に関連していますが別個の数学的対象であり、両者を混同することが多くの微妙な微積分の誤りの原因になります。

導関数

導関数 $f'(x)$（または $\frac{dy}{dx}$）は、各 $x$ における $f$ の変化率を与える 関数 です。$f(x) = x^2$ なら $f'(x) = 2x$。

数値的には：$x = 3$ で $f'(3) = 6$——その点における接線の傾きです。

微分

微分 $dy$ は、$x$ の無限小変化 $dx$ に対応する $y$ の 無限小変化 です：

$dy = f'(x) \, dx$

$y = x^2$ なら：$dy = 2x \, dx$。

微分を使うと、導関数を無限小の 比 として書けます——積分での 置換（$u$ 置換：$du = u'(x) dx$）や、微分方程式の 変数分離 で役立ちます。

違いが効いてくるとき

積分では：$\int 2x \, dx$ は導関数ではなく微分 $dx$ を使います。

陰関数の微分では：$x^2 + y^2 = 25$ から微分をとり $2x \, dx + 2y \, dy = 0$、それから $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

物理では：$dW = F \, dx$（微分としての仕事）であり、「仕事は力の導関数に等しい」ではありません。

線形近似

$dy$ は、小さい $dx$ に対する $\Delta y$（実際の変化）の 線形近似 としても機能します：

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

これは誤差伝播、ニュートン法、そして微積分すべての線形近似の基礎です。

結論

変化率 / 関数が欲しいときは 導関数 $f'(x)$ を使いましょう。無限小の変化が欲しいとき、特に積分・置換・微分方程式では 微分 $dy = f'(x) dx$ を使いましょう。