定積分 vs 不定積分

定積分と不定積分は同じ積分手法（置換、部分積分、部分分数）を使いますが、根本的に異なる問いに答え、根本的に異なるものを生み出します。

それぞれが何か

不定積分 $\int f(x) \, dx$ ——関数、すなわち原始関数の族を生み出します：

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$

ここで $F'(x) = f(x)$。「+C」は、原始関数が無限に存在する（任意の垂直移動が成り立つ）ことを思い出させてくれます。

定積分 $\int_a^b f(x) \, dx$ ——数、すなわち区間 $[a, b]$ における曲線 $y = f(x)$ とx軸の間の符号付き面積を生み出します：

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

（微積分学の基本定理。）

主な違いをひと目で

観点	不定積分	定積分
出力	関数 $F(x) + C$	数
積分範囲	なし	$a$（下端）と $b$（上端）
「+C」が必要	はい	いいえ（引き算で打ち消される）
幾何学的意味	原始関数の族	符号付き面積

解答例

$f(x) = 2x$ について両方を計算します。

不定積分：$\int 2x \, dx = x^2 + C$。

0 から 3 までの定積分：$\int_0^3 2x \, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$。

数 9 は、$y = 2x$、$x = 0$、$x = 3$ で囲まれた三角形の面積です——実際、その三角形は底辺 3、高さ 6 なので、面積 $= \frac{1}{2}(3)(6) = 9$。✓

「符号付き」面積——どういう意味か？

$[a, b]$ 上で $f(x) < 0$ のとき、定積分は 負 になります。それでも（絶対値では）面積を表しますが、曲線が軸より下にあることを示す符号が付きます。

例：$\int_0^\pi \sin x \, dx = 2$（軸の上、正）。$\int_\pi^{2\pi} \sin x \, dx = -2$（軸の下、負）。$\int_0^{2\pi} \sin x \, dx = 0$（打ち消される）。

符号なしの面積が欲しい場合は $|f(x)|$ を積分します——ゼロ交点で分割しましょう。

どうつながるか：基本定理

両者をつなぐ橋が 微積分学の基本定理 で、次のことを述べます：

1. 微分と積分は 逆 の操作である。
2. 定積分は、任意の 原始関数（任意の不定積分）を求め、両端で評価することで計算できる。

これが、不定積分の習得が定積分を計算するための前提となる理由です。

よくある間違い

• 不定積分で 「+C」を忘れる——多くの宿題で減点対象。
• 定積分に 「+C」を付ける——$F(b) - F(a)$ で打ち消されるため、付けると理解不足を示すことになる。
• 定積分で u 置換 を使うときに 積分する前に範囲を代入する——範囲を新しい変数に変えるか、先に $x$ に戻すか。どちらでもよいが、混ぜると誤りの原因になる。

私たちのソルバーで両方を試そう

任意の積分を 積分計算機 に入力——定積分（範囲あり）と不定積分を切り替えられます。AI がステップごとの手法と幾何学的解釈を示します。