三角関数の公式サバイバルキット

三角関数の公式は数十個ありますが、実際に暗記しておく必要があるのは十数個ほどで、残りはそこから数秒で導けます。このページはサバイバルキットです——役に立つすべての公式を、それぞれ短い例題とともに載せています。

ピタゴラスの三つ組

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

最初のものは、すべての数学の中で最もよく使われる恒等式です。残りの二つは、両辺を $\cos^2$ または $\sin^2$ で割ることで得られます。

和と差の公式

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

cos の覚え方：「cos cos マイナス sin sin」で逆の符号——sin は「sin cos プラス cos sin」で同じ符号です。

倍角の公式

和の公式に $\alpha = \beta = \theta$ を代入します：

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

ピタゴラスの恒等式のおかげで、コサイン版には三つの形があります。式の残りの部分に合うものを選びましょう。

半角の公式

コサインの倍角公式を $\sin^2$ と $\cos^2$ について解くと：

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

これらは次数下げの公式です——$\int \sin^2 x \, dx$ が初等的に計算できるようになるのはこのおかげです。

例題：式の簡約

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$ を簡約しましょう。

1. 分子：$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$。
2. 分母：$1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$。
3. 商：$\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$。

複雑きわまる式全体が $\tan x$ に崩れていきます。

よくある間違い

• 和の公式での符号の間違い——公式を書き出し、問題の途中で記憶を当てにしないこと。
• $\sin^2\theta$ は $(\sin\theta)^2$ を意味するのであって、$\sin(\sin\theta)$ ではありません。
• $2\theta$ は角度であって、値の 2 倍ではないことを忘れること——$\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$ であって、$2\sin 30°$ ではありません。

AI 三角関数ソルバーで試す

三角関数ソルバーは、どんな式でも受け取り、これらすべての公式を適用して簡約したり解いたりします。

関連リンク：

• 簡約計算機 — 同じ簡約の考え方を、多項式の味付けで
• 積分計算機 — 三角関数の積分では次数下げが不可欠
• 級数計算機 — sin と cos のテイラー展開はこれらを直接使う