連立方程式を解く三つの方法

連立方程式を解くとは、すべての方程式を同時に満たす値を見つけることです。三つの標準技法はそれぞれ得意な場面があり——どれを選ぶか分かっていれば、どの宿題でも時間を節約できます。

方法 1：代入法

一つの変数がすでに孤立している（または孤立させやすい）ときに最適。

手順：

一つの方程式を一つの変数について解く。
その式をもう一方の方程式に代入する。
得られた一変数の方程式を解く。
代入し戻して二つ目の変数を求める。

例： $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$

$y$ はすでに孤立しています。二つ目に代入： $3x + (2x + 1) = 11$ 、よって $5x = 10$ 、 $x = 2$ 。
代入し戻す： $y = 2(2) + 1 = 5$ 。
解： $(2, 5)$ 。

方法 2：加減法（一次結合）

足し引きで一つの変数を消せるよう係数がそろっているときに最適。

手順：

ある変数の係数が反対になるよう（例： $+3y$ と $-3y$ ）、片方または両方の方程式に定数を掛ける。
方程式を足してその変数を消去する。
残った一変数の方程式を解く。
代入し戻す。

例： $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

$3y$ と $-3y$ はすでに反対。足す： $6x = 18$ 、 $x = 3$ 。
代入し戻す： $2(3) + 3y = 12$ 、 $3y = 6$ 、 $y = 2$ 。
解： $(3, 2)$ 。

方法 3：行列法

より大きな連立（3 変数以上）やコンピュータ支援の求解向け：

クラメルの公式： $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ 。ここで $A_i$ は $A$ の $i$ 番目の列を定数に置き換えたもの。どんなサイズでも使えますが、 $\det$ の計算は急速に増大します。
ガウスの消去法：拡大係数行列 $[A | \vec{b}]$ を行基本変形で行階段形に簡約し、代入し戻す。大きな連立の標準手法。
逆行列： $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$ 。 $A$ が正方かつ可逆（行列式が非零）のときのみ有効。

2×2 の連立を手計算するなら、代入法か加減法がほぼ常に勝ちます。行列法は 3 変数以上で輝きます。

解集合の三つの可能性

すべての線形連立は、次のいずれかちょうど一つになります：

一意な解が一つ：直線（または平面）が一点で交わる。
解なし：方程式が矛盾する（交わらない平行線）——連立は不能。
無限個の解：方程式が同じ直線／平面を表す——連立は不定。

代数的なサイン：

「 $x = 5$ 」→ 一意。
「 $0 = 7$ 」→ 矛盾 → 解なし。
「 $0 = 0$ 」→ 恒真 → 無限個の解。

よくある間違い

代入の際の分配時の符号ミス。括弧を丁寧に。
加減法でスケーリングする際に両辺に掛けるのを忘れる。
$x$ を求めた時点でやめる。両方の変数が重要です。代入し戻しましょう。
不能を無視する。 $0 = 7$ になったら、それが答え（「解なし」）であって、計算ミスではありません。

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