確率の基礎：ルール、組合せ論、そして例題

確率は不確実性を数値化します。よい知らせ：宿題の問題のほとんどは、ごく少数のルールと、丁寧に数える意志があれば解けてしまいます。このガイドは、分布、仮説検定、ベイズ推論へ進む前に必要な土台を扱います。

「確率」が意味するもの

事象 $A$ の確率は

$P(A) = \frac{\text{好ましい結果}}{\text{すべての結果}}$

ただし、すべての結果が等しく起こりうると仮定します。$P(A) \in [0, 1]$：

• $0$ = 不可能。
• $1$ = 確実。
• $0.5$ = コイン投げ。

等しく起こりうるわけではない結果については、各結果に重みを割り当てます（これが確率分布のしていることです）。

三つの基本ルール

加法のルール（A または B の確率）

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

二重に数えないように共通部分を引きます。$A$ と $B$ が互いに排反（両方は起こりえない）なら、共通部分はゼロです。

例：52 枚のデッキから 1 枚引くとき、$P(\text{キングまたはハート}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$。（1 枚はキングかつハートなので、その分を引きます。）

乗法のルール（A かつ B の確率）

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

$A$ と $B$ が独立（一方が他方に影響しない）なら、$P(B | A) = P(B)$ となり、$P(A) \cdot P(B)$ に簡単になります。

例：二つのサイコロを振るとき、$P(\text{両方とも 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$。（振る回は独立です。）

条件付き確率

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$A$ が起きたという条件のもとでの $B$ の確率。ベイズの定理と推測統計学の大部分の基礎です。

例：引いたカードが絵札だった。それがキングである確率は？

• $P(\text{キングかつ絵札}) = 4/52$。
• $P(\text{絵札}) = 12/52$。
• $P(\text{キング | 絵札}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$。

数え上げ：順列と組合せ

$n$ 個から $r$ 個を選ぶとき：

• 順列（順序が重要）：$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$。
• 組合せ（順序は無関係）：$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$。

判断の基準は「選んだもののうち二つを入れ替えると、結果が変わるか？」です：

• 変わる（例：金メダルと銀メダル）→ 順列。
• 変わらない（例：5 人の委員会を選ぶ）→ 組合せ。

例題：宝くじ

49 個から 6 個の数字を選びます。あなたの券での順序は関係ありません——組合せです。

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

よって $P(\text{6 つの数字の大当たり}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$。

独立 vs 互いに排反（混同しないこと！）

• 独立：$A$ を知っても $P(B)$ は変わらない。コイン投げは独立です。
• 互いに排反：$A$ と $B$ は両方は起こりえない。サイコロが 1 かつ 2 になることはありません。

二つの事象は、一方だけ、他方だけ、両方、あるいはどちらでもない、のいずれにもなりえます。よく混同されますが、同じ概念ではありません。

よくある間違い

• ギャンブラーの誤謬：「表が 5 回続いたから、次は裏のはずだ」。コイン投げは独立で——過去は未来の確率を変えません。
• 共通部分を引かずに互いに排反でない確率を足すこと。$P(\text{キング}) + P(\text{ハート}) \neq P(\text{キングまたはハート})$。
• $P(A | B)$ と $P(B | A)$ を取り違えること。典型的な検察官の誤謬：「被告が無実だとすれば、この証拠が出る確率は小さい。したがって、この証拠があれば、無実である確率は小さい」。ベイズの定理を適用しなければ論理的に誤りです。

自分で試してみよう

任意の確率問題を確率計算機に入れてみてください——加法、乗法、条件付き、組合せ論つきで。AI がすべてのステップを案内します。

関連：

• 用語集：ベイズの定理
• 比較：順列 vs 組合せ
• 統計公式チートシート