順列 vs 組み合わせ

順列と組み合わせは、ある1つの問い——順序は関係するか？——を立てるまでほとんど見分けがつきません。これを間違えると、確率の答えが $r!$ 倍以上ずれてしまいます。ここでは解答例とともに、その明確な違いを示します。

核心の問い：順序は関係するか？

• はい、順序が関係する → 順列。10人の走者から1位 / 2位 / 3位を選ぶ。
• いいえ、順序は関係しない → 組み合わせ。20人から5人の委員会を選ぶ。

同じ10人の候補でも、役割が区別されるかどうかによって答えが変わります。

公式

$n$ 個から $r$ 個を選ぶとき：

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

組み合わせは順列を $r!$ で割ったもの であることに注意してください。組み合わせは順序を区別しないため、その $r!$ が選んだ要素の並べ替えを取り除いています。

解答例

順列：レースの表彰台

10人の走者、メダルの3つの順位（金・銀・銅）。順序が関係します——金 ≠ 銀。

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

組み合わせ：宝くじの番号

49個から6個の番号を選ぶ——チケット上の順序は関係しません。

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

同じ数字でも答えが違う

{A, B, C, D} から3文字を選ぶ。

• 順列として（3文字のパスワード）：$P(4, 3) = 24$。ABC、ACB、BAC、... すべて別物。
• 組み合わせとして（単に3文字を選ぶ）：$C(4, 3) = 4$。{A,B,C}、{A,B,D}、{A,C,D}、{B,C,D}。

両者の差である $3! = 6$ の因数が、まさに公式の $r!$ です。

判断のショートカット

迷ったら、こう問いましょう：「選んだ要素のうち2つを入れ替えたら、結果は変わるか？」

• 変わる → 順列
• 変わらない → 組み合わせ

主将と副将を選ぶ → 入れ替えると誰が主将かが変わる → 順列。
ペアのために2人を選ぶ → 入れ替えても同じペア → 組み合わせ。

よくある間違い

• 確率が絡むときに両者を混同する。分母（全結果数）と分子（有利な結果数）は 同じ 数え方を使わなければなりません。
• $r!$ の除数を忘れる。組み合わせが必要なのに順列を計算すると、$r!$ 倍だけ数え過ぎになります。
• 区別できる要素と区別できない要素。一部の要素が同一の場合（例：赤玉5個と青玉3個）、どちらの単純な公式も使えません——多項係数 $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$ が必要です。

自分で試してみよう

確率計算機 を使って、順列・組み合わせを計算し、AI が各ステップを案内しながら現実の確率問題に適用してみましょう。