部分分数分解：完全なワークフロー

部分分数分解は、地球上のあらゆる有理関数を積分できるようにする代数の技です。一つの醜い分数と格闘する代わりに、それを項ごとに簡単に積分できる部品に分割します。このガイドでは、出会うすべての場合を解説します。

設定

有理関数とは $\frac{P(x)}{Q(x)}$（$P, Q$ は多項式）です。部分分数は、$P$ の次数 < $Q$ の次数のときにのみ機能します。そうでない場合は、まず多項式の長除法を行って多項式部分を分離します。

割り算をしたら、$Q(x)$ を実数の範囲で完全に因数分解します。すべての因子は四つのカテゴリーのいずれかに入ります。

四つの場合

場合 1：相異なる一次因子

$Q(x) = (x - a)(x - b)$ のときは、次のように書きます：

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

例。 $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$ を分解します。

全体に掛けます：$5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$。

$x = 1$ を代入：$4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$。
$x = -2$ を代入：$-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$。

よって $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$ です。

場合 2：重複する一次因子

$(x - a)^k$ については、$k$ までの各べきにつき一つの項が必要です：

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

場合 3：既約二次因子

既約な $x^2 + bx + c$ ごとに、二つの未知数を持つ分子を使います：

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

場合 4：重複する既約二次

場合 2 と同じ考え方ですが、各べきが $Bx + C$ の形をとります。

積分への応用

分解したら、項ごとに積分します：

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$（$k > 1$ のとき）
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ は $\ln$ の部分と $\arctan$ の部分に分かれます。

よくある間違い

• $P$ の次数 ≥ $Q$ の次数のとき、まず長除法をするのを忘れる。
• 重複する項を飛ばす——$(x - 1)^3$ には三つの別々の分数が必要です。
• 既約二次を因数分解しようとする——実数解を無理に求める前に判別式を確認しましょう。

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積分ソルバーは、必要なときに部分分数分解を自動で行い、すべてのステップを表示します。

関連リンク：

• 因数分解計算機——$Q(x)$ を分解するため
• 多項式計算機——長除法の設定のため
• 極限計算機——一部の部分分数分解の検証テクニックで使われる